№89 Волновые процессы в линии с распределенными параметрами.

Ранее были получены решения для напряжения и тока в установившемся режиме:

Учитывая, что постоянные интегрирования и коэффициент распространения являются комплексными числами преобразуем уравнение для U(x):

Перейдем от комплексного изображения функции к ее оригиналу, т.е. к ее функции времени:

Функция u(x,t) состоит из двух слагаемых, первое из которых представляет собой прямую или падающую волну uп(x,t), а второе - обратную или отраженную волну uо(x,t). Проанализируем, как изменяется каждая из волн в пространстве и во времени.

Падающая волна напряжения равна:

В произвольной точке линии x=x`=const напряжение изменяется по синусоидальному закону с постоянной амплитудой:

где

В произвольно выбранный момент времени t=t`=const напряжение вдоль линии изменяется по синусоидальному закону, но с затуханием амплитуды с увеличением расстояния х:

где

Коэффициент β показывает, как изменяется фаза падающей волны напряжения на единицу длины линии [рад/м] и называется коэффициентом фазы.

Длиной волны λ называется расстояние ∆х между двумя ближайшими точками линии, которые находятся в одинаковом фазовом состоянии, т.е. через интервал 2π:

откуда следует

С течением времени синусоидальное распределение напряжения перемещается вдоль линии. Под скоростью распространения волны или фазовой скоростью понимают скорость перемещения вдоль линии определенного фазового состояния, для чего должно удовлетворяться условие: ωt-βx+ψ1=const.

Продифференцируем члены этого уравнения, в результате получим: ωdx, βdx откуда следует:

Неравенство vп> 0 означает, что падающая волна перемещается в положительном в направлении, т. е. от начала линии к ее концу.

Амплитуда падающей волны зависит от координаты х:

она убывает (затухает) по показательному закону e-αx в направление возрастания х, т.е. в направлении движения волны. Скорость затухания определяется коэффициентом α, который получил название коэффициента затухания волны [Неп/м].

Коэффициент γ=α+jβ показывает в комплексе характер изменения волны при движении ее вдоль линии, поэтому получил название коэффициента распространения волны.

Характер распространения падающей волны напряжения uп(x,t) показан на рис. 89,1.

Рис. 89.1

Отраженная волна напряжения равна:

Фазовая скорость отраженной волны найдется из уравнения: ωt-βx+ψ2=const.

После дифференцирования получим: ωdt+βdx+0=0, откуда следует:

Отраженная волна распространяется с той же фазовой скоростью, что и падающая, но в обратном направлении (знак минус), т.е. от конца линии к ее началу. Она имеет ту же длину волны λ=2π/β. Амплитуда отраженной волны:

при а > 0 убывает (затухает);

Характер распространения отраженной волны показан на рис. 89,2.

Действительное значение напряжения в любой точке лини х’ в любой момент времени t’ будет равно сумме значений напряжений падающей и отраженной волн:

Очевидно, что функцию тока в линии i(x,t) также можно рассматривать как результат наложение падающей iп(x,t) и отраженной iо(x,t) волн стой лишь разницей, что отраженная волна накладывается с обратным знаком: