№88 Решение уравнений линии с распределенными параметрами в установившемся синусоидальном режиме.

Пусть напряжение и ток в линии с распределенными параметрами изменяются по синусоидальному закону:

Заменим в дифференциальных уравнениях линии синусоидальные функции du/dt и di/dt и их производные

В уравнениях (1) и (2) приняты обозначения: Z0=R0+jωL0 - комплексное сопротивление линии на единицу длины [Ом /м], Y0=G0+jωC0 - комплексная проводимость линии на единицу длины [См/м].

Дифференцируем уравнение (2) по переменной х и делаем в него подстановку из (1):

или

Решаем дифференциальное уравнение 2-го порядка (3) классическим методом. Характеристическое уравнение и его корни:

откуда

Решение для искомой функции в общем виде:

где

- безразмерная комплексная величина, названная коэффициентом (постоянной) распространения, A1, A2 - комплексные постоянные интегрирования, которые определяются через граничные условия, т. е. через значения искомых функций U(x), I(x) в заданной точке линии, например в ее начале (х=0) или в ее конце (x=l).

Из уравнения (1) находим:

-волновое или характеристическое сопротивление линии.

Таким образом, решения для искомых функций U(x) и I(x) имеют вид:

Волновое сопротивлениеZc и постоянная распространения γ получили название вторичных параметров линии.

Выразим постоянные интегрирования A1 и A2 через граничные условия начала линии. При х=0 U(x)=U1, I(x)=I1, подставим эти значения в уравнения (4) и (5):

Совместное решение этих уравнений позволяет определить постоянные интегрирования:

Подставим полученные значения постоянных интегрирования в решения для искомых функций (4) и (5):

Полученные уравнения используются при расчетах цепей с распределенными параметрами в установившемся синусоидальном режиме.

Если принять х=l ,то получим значения параметров режима в конце линии:

Выразим постоянные интегрирования через граничные условия конца линии. Для этой цели в полученных ранее решениях (4) и (5) заменим переменные х на l-y из условия x=l-y, где l ― длина всей линии, а y ― расстояние от конца линии до рассматриваемой точки:

Здесь

есть некоторые новые постоянные интегрирования.

При y=0 U(y)=U2, I(y)=I2 подставим эти значения в найденные уравнения, получим:

Совместное решение этих уравнений позволяет определить постоянные интегрирования:

Подставляем значение постоянных в решение для искомых функций:

Полученные уравнения используются при расчете цепей с распределенными параметрами в установившемся синусоидальном режиме.

Если принять y=l , то получим значение параметров режима в начале линии: