№87 Дифференциальные уравнения цепи с распределенными параметрами.

Рассмотрим двухпроводную однородную линию, физические параметры которой равномерно распределены по ее длине:

R0 ― активное сопротивление пары проводов на единицу длины [Ом/м], определяется по известной формуле R=ρ*(l/s), зависит от материала провода (γ ) и от ее температуры;

L0 ― индуктивность пары проводов на единицу длины линии [Гн/м], определяется как отношение потокосцеплепия к току (L0=ψ0/i), является отображением магнитного поля линии в ее схеме замещения, зависит от магнитных характеристик среды (μ) и геометрических размеров линии;

G0 ― активная проводимость между проводами на единицу длины линии [См/м], является следствием несовершенства изоляции между проводами, зависит от электрических параметров среды (γ) и геометрических размеров линии;

C0 ― емкость между проводами на единицу длины линии [Ф/м], определяется как отношение заряда к напряжению(C0=q0/U), является отображением электрического поля линии в ее схеме замещения, зависит от электрических характеристик среды (ε) и геометрических размеров линии.

Удельные параметры линии R0. L0. G0. C0зависят от физических параметров самих проводов и окружающий их среды, поэтому они получили название физических или первичных.

Разделим всю линию на элементарные участки длиной dх и рассмотрим один из таких участков, находящийся на расстоянии х от начала линии. Схема замещения участка будет иметь вид рис.87.1.Здесь u и i ― напряжение и ток в начале рассматриваемого участка. В конце участка напряжение и ток получают приращения:

Рис. 87.1

Функции напряжения и тока ( u, i ) зависят от двух параметров t и x, они изменяются в пространстве и во времени, поэтому дифференциальные уравнения для схемы замещения следует составлять в частных производных.

Уравнение по 2-му закону Кирхгофа для контура:

уравнения цепи с распределенными параметрами

После упрощения получим:

уравнения цепи с распределенными параметрами

По закону Ома и 1-му закону Кирхгофа:

В приведенном выражении пренебрегаем слагаемыми второго порядка малости, содержащими d2x.

По 1-му закону Кирхгофа для узла:

После упрощения получим:

Уравнения (1) и (2) являются основными дифференциальными уравнениями двухпроводной линии с распределенными параметрами, которые используются для расчета как переходного, так и установившегося режима линии.