Для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений остаются справедливыми сформулированные ранее законы Кирхгофа.
Первый: в любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю:
где n - число ветвей, сходящихся в узле
Второй: в любой момент времени в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах контура:
где m - число ветвей, образующих контур
Токи, напряжения и ЭДС, входящие в уравнения (2.8) и (2.9), есть синусоидальные функции времени, которые мы рассматриваем как проекции некоторых векторов на оси координат. Так как сложению проекций соответствует сложение векторов и соответствующих им комплексных чисел, то справедливыми будут следующие уравнения, которые можно записывать как для действующих, так и для амплитудных значений.
Законы Киргофа в векторной форме
Законы Киргофа в символической форме
Из сказанного вытекают три возможных подхода к расчету цепей синусоидального тока: выполнение операций непосредственно над синусоидальными функциями времени по уравнениям выше; применение метода векторных диаграмм, использование в расчетах комплексных чисел и уравнений, являющихся основой символического метода.
Пример 2.4. В узле электрической цепи сходятся три ветви (рис. 18.1).
Токи первых двух ветвей известны:
Требуется записать выражение тока i3 и определить показания амперметров электромагнитной системы
Рис. 18.1 - Узел электрической цепи
Решение 1.
Непосредственное сложение синусоид:
Сумма двух синусоид одинаковой чыстоты есть тоже синусоида той же частоты. Ее амплитуда и начальная фаза могут быть найдены по известным из математики формулам:
откуда
Итак
2. Применение метода векторных диаграмм.
В соответствии с первым законом Киргофа в векторной форме для цепи на рис. 18.1 имеем:
В прямоугольной системе координат строим векторы I1m и I2m и находим вектор I3m, равный их сумме (рис. 18.2)
Так как треугольник oab прямоугольный, а сторона ab равна длине вектора I2m, то:
Если треугольник получается не прямоугольным, то применяется теорема косинусов.
Начальная фаза третьего тока равна углу наклона: вектора I3m к горизонтальной оси:
Рис. 18.2 - Векторная диаграмма токов
3. Решение символическим методом
Записываем комплексные амплитуды первого и второго токов:
По первому закону Киргофа в символической форме
Модуль последнего комплексного числа равен амплитуде третьего тока, а агрумент - начальной фазе.
Определяем показания амперметров. Приборы электромагнитной системы показывают действующие значения токов и напряжений, потому:
Обращаем внимание на то, что I1+I2≠I3. Это не ошибка. В цепях синусоидального тока для показаний приборов законы Кирхгофа не справедливы. Можно складывать мгновенные значения токов (синусоидальные функции времени), векторы и комплексные числа, но не численные значения токов и напряжений, не показания приборов.
Следует заметить, что первый из рассмотренных в примере методов из-за громоздкости вычислительных операций с синусоидами практически не применяется.
Метод векторных диаграмм удобен при решении относительно несложных задач.
В символической форме, как будет показано ниже, можно рассчитать сколь угодно сложную линейную цепь.