№15 Основные сведения о комплексных числах.

Комплексным числом называется выражение вида:

где – c обозначение комплексного числа; a и b – соответственно действительная и мнимая части комплексного числа; j=√(-1) – мнимая единица.

Величины a и b часто обозначают следующим образом: a = Re(c) , b = Im(c) . Символы Re и Im – есть начальные буквы английских слов Real – действительный и Imaginary – мнимый.

Геометрически комплексное число изображается вектором на комплексной плоскости (рис. 15.1). Горизонтальная и вертикальная оси, отмеченные соответственно знаками +1 и +j, называются действительной (или вещественной) и мнимой. Действительная и мнимая составляющие комплексного числа представляют собой проекции вектора на эти оси.

Рис. 15.1 - Вектор на комплексной плоскости

На рис.15.1

Модуль комплексного числа, равный длине вектора, а

- аргумент комплексного числа. Так как

- тригонометрическая форма комплексного числа. С помощью формулы Эйлера

последняя преобразуется в показательную форму:

Применяется еще и полярная форма

в самой простой форме задающая модуль и агрумент комплексного числа.

Свойства мнимой единицы (рис. 15.2):

Рис. 15.2 - Единичный вектор в комплексной плоскости

Два комплексных числа c и c` называются сопряженными, если они имеют одинаковые модули и равные по величине, но разные по знаку аргументы (рис. 15.3):

Рис. 15.3 - Сопряженный комплексные числа

Изображающие их векторы симметричны относительно вещественной оси.

Действия над комплексными числами.

Сложение и вычитание производится над числами, записанными в алгебраической форме:

т.е. складываются по отдельности вещественные и мнимые части слагаемых:

a=a1+a2; b=b1+b2

Операции сложения комплексных чисел соответствует сложение изображающих их векторов.

Сумма сопряженных комплексных чисел равна удвоенному значению вещественной части:

Умножение и деление комплексных чисел удобнее всего производить в показательной форме. Модули при этом перемножаются или делятся, а аргументы складываются или вычитаются:

где

Что происходит с векторами при перемножении комплексных чисел?

На рис. 15.4 мы видим, что при умножении длина вектора возросла в с2 раз, а аргумент увеличился на α2.Рассматривая комплексное число как вектор, мы приходим к следующему выводу.

При умножении вектора на комплексное число аеjα , вектор растягивается в а раз и поворачивается на угол α .

Рис. 15.4 - Перемножение комплексных чисел

Произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля комплексного числа:

или

Иногда приходится производить умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме. Перемножение выполняется по правилам умножения многочленов с учетом того, что j2 = -1

При делении, чтобы получить результат, необходимо избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Этого можно достичь умножением числителя и знаменателя на сопряженный знаменатель:

где