№70 Анализ переходных процессов в цепи R, L, C.

Переходные процессы в цепи R, L, C описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка. Установившиеся составляющие токов и напряжений определяются видом источника энергии и определяются известными методами расчета установившихся режимов. Наибольший теоретический интерес представляют свободные составляющие, так как характер свободного процесса оказывается существенно различным в зависимости от того, являются ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными сопряженными.

Проанализируем переходной процесс в цепи R, L, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 70.1).

Рис. 70.1

Общий вид решения для тока: i(t)=iy(t)+iсв(t)=Iy+A1ep2t+A2ep2t

Установившаяся составляющая: Iy=0

Характеристическое уравнение и его корни:

откуда

Дифференциальное уравнение:

Независимые начальные условия: i(0)=0; uc(0)=0.

Зависимое начальное условие:

откуда

Постоянные интегрирования определяется из соместного решения системы уравнений:

откуда

Окончательное решение для тока:

Исследуем вид функции i(t) при различных значениях корней характеристического уравнения.

а) Корни характеристического уравнения вещественные, не равны друг другу.

Это имеет место при условии:

или

тогда

причем

При изменении t от 0 до ∞ отдельные функции ep1t и ep2t убывают по экспоненциальному закону от 1 до 0, причем вторая из них убывает быстрее, при этом их разность ep1t - ep2t ≥ 0. Из этого следует вывод, что искомая функция тока i(t) в крайних точках при t = 0 и при t = ∞ равна нулю, а в промежутке времени 0 < t < ∞ - всегда положительна, достигая при некотором значении времени tm своего максимального значения Imax. Найдем этот момент времени:

или

откуда

Графическая диаграмма функции i(t) для случая вещественных корней характеристического уравнения показана на рис. 70.2.

Рис. 70.2

Продолжительность переходного процесса в этом случае определяется меньшим по модулю корнем: Tп=4/|pmin|.

Характер переходного процесса при вещественных корнях характеристического уравнения получил название затухающего или апериодического.

б) Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные.

Это имеет место при соотношении параметров:

или

тогда

где

коэфициэнт затухания:

угловая частота собственных колебаний:

Решение для исконной функции может быть преобразовано к другому виду:

Таким образом, в случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения искомая функция i(t) изменяется во времени по гармоническому закону Imsinω0t с затухающей амплитудой Im(t)=A·e-bt. Графическая диаграмма функции показана на рис. 70.3.

Рис. 70.3

Период колебаний T0=2π/ω0, продолжительность переходного процесса определяется коэффициентом затухания: Tп=4/b.

Характер переходного процесса при комплексно сопряженных корнях характеристического уравнения получил название колебательного или периодического.

В случае комплексно сопряженных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:

или

где коэффициенты A и ψ или B и C являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.

в) Корни характеристического уравнения вещественные и равны друг другу.

Это имеет место при условии:

или

тогда

Полученное ранее решение для искомой функции i(t) в этом случае становится неопределенным, так как числитель и знаменатель дроби превращаются в нуль. Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя, считая p2=p=const, а p1=var, которая стремится к p. Тогда получим:

Характер переходного процесса при равных корнях характеристического уравнения получил название критического. Критический характер переходного процесса является граничным между затухающим и колебательным и по форме ничем не отличается от затухающего. Продолжительность переходного процесса Tп=4/p. При изменении только сопротивления резистора R=var=0…∞ затухающий характер переходного процесса соответствует области значений Rvar (Rkp < Rvar < ∞), колебательный характер - также области значений (0 < Rvar < Rkp), а критический характер – одной точке Rvar = Rкр. Поэтому на практике случай равных корней характеристического уравнения встречается крайне редко.

В случае равных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:

где коэффициенты A1 и A2 являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.

Критический режим переходного процесса характерен тем, что его продолжительность имеет минимальное значение. Указанное свойство находит применение в электротехнике.