№66 Переход от изображения функции F(p) к ее оригиналу f(t). Формула разложения.

В результате совместного решения системы операторных уравнений получают выражение для искомой функции в операторной форме, т.е. ее операторное изображе¬ние F(p). Переход от операторного изображения функции к ее оригиналу, т.е. к функции времени f(t), является наиболее трудоемкой частью операторного метода расчета.На практике для этой цели применяются два способа.

Первый способ – по таблице соответствия. В этом случае операторное выражение искомой функции F(p) преобразуется к одному из табличных видов и по таблице соответствия определяется оригинал функции f(t). Следует заметить, что такое преобразование удается осуществить только для простых выражений, что существенно ограничивает возможности этого способа.

Второй способ – по формуле разложения является более универсальным, по¬этому находит применение в большинстве практических случаев. Сущность этого способа изложена ниже.

При решении системы операторных уравнений для искомой функции получают операторное выражение F(p) в виде дроби, в числителе и знаменателе которой стоят степенные полиномы:

Из курса математики известно, что при выполнении условий: а) m>n и б) уравнение M(p)=0 не содержит кратных корней, выражение F(p)=N(p)/M(p) может быть представлена в виде суммы простых дробей:

где A1, A2, ... , Am - постоянные коэффициенты, p1, p2, ... , pm - корни уравнения M(p)=0.

Для определения коэффициента A1 умножим обе части уравнения на множитель (p-p1) и найдем предел выражения F(p) при p→p1. Очевидно, что в правой части уравнения получим A1, а в левой – неопределенность, так как M(p1)=0. Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя:

Следовательно, формула для произвольного коэффициента:

Тогда выражение искомой функции получает вид:

По таблице соответствия находим, что операторному изображению F(p)=Ak/(p-pk) соответствует оригинал f(t)=Akepkt, следовательно, оригинал искомой функции получает вид:

Это уравнение получило название формулы разложения и используется для перехода от операторного изображения функции F(p) к ее оригиналу, т.е. функции времени f(p). Порядок применения формулы разложения:

1) Операторное изображение искомой функции F(p) преобразуют к виду дроби F(p)=N(p)/M(p), чтобы в числителе и знаменателе ее стояли степенные полиномы.

2) Приравнивают к нулю знаменатель дроби M(p)=0 и находят корни этого уравнения p1, p2, ... , pm.

3) Находят выражение производной знаменателя дроби M`(p)=dM(p)/dp.

4) Определяют коэффициенты Ak=N(pk)/M`(pk) путем поочередной подстановки значений каждого из корней p1, p2, ... , pm в это выражение.

5) Записывают решение для искомой функции времени f(t) в виде суммы отдельных слагаемых-экспонент, при необходимости упрощают полученное выражение:

Последовательность выполнения отдельных этапов расчета переходных процессов операторным методом показано ниже в виде диаграммы.

Примечание. Составление системы операторных уравнений может выполняться по одному из двух вариантов: А - путем непосредственного преобразования дифференциальных уравнений Кирхгофа в операторные в и B - путем составления системы уравнений по одному из методов расчета для операторной схемы замещения.