Рейтинг@Mail.ru

ТОЭ, ТЭЦ, электротехника - все решения у нас! Недорого, быстро, качественно, гарантия!

логотип сайта ТОЭ

Лекции по ТОЭ/ №74 Расчет переходных процессов методом переменных состояния.


    Уравнениями состояния электрической цепи называют любую систему дифференциальных уравнений, которая описывает состояние (режим) данной цепи. Например, система уравнений Кирхгофа является уравнениями состояния цепи, для которой она составлена.

    В более узком смысле в математике уравнениями состояния называют систему дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно производных (форма Коши). Система уравнений состояния в обобщенной форме имеет вид:

Расчет переходных процессов методом переменных состояния

    Та же система уравнений в матричной форме:

Расчет переходных процессов методом переменных состояния

    или в обобщённой матричной форме:

Расчет переходных процессов методом переменных состояния

    Система уравнений состояния формы Коши решается методом численного интегрирования (метод Эйлера или метод Рунге-Кутта) на ЭВМ по стандартной программе, которая должна быть в пакете стандартных программ. При отсутствии такой программы в пакете она легко может быть составлена по следующему алгоритму (метод Эйлера) для к-го шага:

    tk=k·h

    Значения производных на к-ом шаге:

Расчет переходных процессов методом переменных состояния

    Значения переменных на к-ом шаге:

Расчет переходных процессов методом переменных состояния

    Для определения значений переменных и их производных на 1-м шаге ин¬тегрирова¬ния используются их значения на момент t=0, т.е. их начальные условия x1(0), x2(0)...xn(0).

    Уравнения состояния формы Коши для заданной схемы могут быть получены из системы уравнений Кирхгофа путем их преобразования. Для этой цели: а) из системы уравнений Кирхгофа методом подстановки исключаются ''лишние'' переменные, имеющие зависимые начальные условия, и оставляют переменные iL(t) и uC(t), которые не изменяются скачком и имеют независи-мые начальные условия iL(0) и uC(0); б) оставшиеся уравнения решаются относительно производных и приводятся их к форме Коши.

    В случае сложных схем уравнения состояния формы Коши могут быть составлены топологическими методами с использованием матриц соединений [A] и [B].

    Последовательность расчета переходного процесса методом переменных состояния выглядит так:

    1. Производится расчет схемы в установившемся режиме до коммутации и определяются независимые начальные условия iL(0) и uC(0).

    2. Составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы после коммутации.

    3. Методом исключения ''лишних'' переменных система уравнений Кирхгофа преобразуется в систему уравнений Коши, составляются матрицы коэффициентов.

    4. Выбирается расчетное время (продолжительность переходного процесса) и число шагов интегрирования N.

    5. Решение задачи выполняется на ЭВМ по стандартной программе. Выходную функцию получают в виде графической диаграммы x=f(t)или в виде таблицы координат функций для заданных моментов времени.

    

    Пример. Для схемы рис. 74.1 с заданными параметрами элементов (e(t)=Emsin(ωt+ψE), R, R1, R2, R3, L1, L2, C) выполнить расчет переходного процесса и определить функцию uab(t).

Расчет переходных процессов методом переменных состояния

    1. Выполняется расчет схемы в установившемся режиме переменного тока до коммутации и определяются начальные условия i1(0), i2(0), uC(0).

    2. Составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа:

Расчет переходных процессов методом переменных состояния

    3. Система уравнений Кирхгофа преобразуется в систему уравнений Коши.

Расчет переходных процессов методом переменных состояния

    Составляем матрицы коэффициентов:

Расчет переходных процессов методом переменных состояния


Желаем удачного изучения материала и успешной сдачи!