Рейтинг@Mail.ru

ТОЭ, ТЭЦ, электротехника - все решения у нас! Недорого, быстро, качественно, гарантия!

логотип сайта ТОЭ

Лекции по ТОЭ/ №70 Анализ переходных процессов в цепи R, L, C.


    Переходные процессы в цепи R, L, C описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка. Установившиеся составляющие токов и напряжений определяются видом источника энергии и определяются известными методами расчета установившихся режимов. Наибольший теоретический интерес представляют свободные составляющие, так как характер свободного процесса оказывается существенно различным в зависимости от того, являются ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными сопряженными.

    Проанализируем переходной процесс в цепи R, L, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 70.1).

Анализ  переходных  процессов  в  цепи  R, L, C

    Общий вид решения для тока: i(t)=iy(t)+iсв(t)=Iy+A1ep2t+A2ep2t

    Установившаяся составляющая: Iy=0

    Характеристическое уравнение и его корни:

Анализ  переходных  процессов  в  цепи  R, L, C

    Дифференциальное уравнение:

Анализ  переходных  процессов  в  цепи  R, L, C

    Независимые начальные условия: i(0)=0; uc(0)=0.

    Зависимое начальное условие:

Анализ  переходных  процессов  в  цепи  R, L, C

    Постоянные интегрирования определяется из соместного решения системы уравнений:

Анализ  переходных  процессов  в  цепи  R, L, C

    Окончательное решение для тока:

Анализ  переходных  процессов  в  цепи  R, L, C

    Исследуем вид функции i(t) при различных значениях корней характеристического уравнения.

    а) Корни характеристического уравнения вещественные, не равны друг другу.

    Это имеет место при условии:

Анализ  переходных  процессов  в  цепи  R, L, C

    При изменении t от 0 до ∞ отдельные функции ep1t и ep2t убывают по экспоненциальному закону от 1 до 0, причем вторая из них убывает быстрее, при этом их разность ep1t - ep2t ≥ 0. Из этого следует вывод, что искомая функция тока i(t) в крайних точках при t = 0 и при t = ∞ равна нулю, а в промежутке времени 0 < t < ∞ - всегда положительна, достигая при некотором значении времени tm своего максимального значения Imax. Найдем этот момент времени:

Анализ  переходных  процессов  в  цепи  R, L, C

    Графическая диаграмма функции i(t) для случая вещественных корней характеристического уравнения показана на рис. 70.2.

Анализ  переходных  процессов  в  цепи  R, L, C

    Продолжительность переходного процесса в этом случае определяется меньшим по модулю корнем: Tп=4/|pmin|.

    Характер переходного процесса при вещественных корнях характеристического уравнения получил название затухающего или апериодического.

    б) Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные.

    Это имеет место при соотношении параметров:

Анализ  переходных  процессов  в  цепи  R, L, C

    Решение для исконной функции может быть преобразовано к другому виду:

Анализ  переходных  процессов  в  цепи  R, L, C

    Таким образом, в случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения искомая функция i(t) изменяется во времени по гармоническому закону Imsinω0t с затухающей амплитудой Im(t)=A·e-bt. Графическая диаграмма функции показана на рис. 70.3.

Анализ  переходных  процессов  в  цепи  R, L, C

    Период колебаний T0=2π/ω0, продолжительность переходного процесса определяется коэффициентом затухания: Tп=4/b.

    Характер переходного процесса при комплексно сопряженных корнях характеристического уравнения получил название колебательного или периодического.

    В случае комплексно сопряженных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:

Анализ  переходных  процессов  в  цепи  R, L, C

    где коэффициенты A и ψ или B и C являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.

    в) Корни характеристического уравнения вещественные и равны друг другу.

    Это имеет место при условии:

Анализ  переходных  процессов  в  цепи  R, L, C

    Полученное ранее решение для искомой функции i(t) в этом случае становится неопределенным, так как числитель и знаменатель дроби превращаются в нуль. Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя, считая p2=p=const, а p1=var, которая стремится к p. Тогда получим:

Анализ  переходных  процессов  в  цепи  R, L, C

    Характер переходного процесса при равных корнях характеристического уравнения получил название критического. Критический характер переходного процесса является граничным между затухающим и колебательным и по форме ничем не отличается от затухающего. Продолжительность переходного процесса Tп=4/p. При изменении только сопротивления резистора R=var=0…∞ затухающий характер переходного процесса соответствует области значений Rvar (Rkp<Rvar<∞), колебательный характер - также области значений (0<Rvar<Rkp), а критический характер – одной точке Rvar=Rкр. Поэтому на практике случай равных корней характеристического уравнения встречается крайне редко.

    В случае равных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:

Анализ  переходных  процессов  в  цепи  R, L, C

    где коэффициенты A1 и A2 являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.

    Критический режим переходного процесса характерен тем, что его продолжительность имеет минимальное значение. Указанное свойство находит применение в электротехнике.


Желаем удачного изучения материала и успешной сдачи!