Рейтинг@Mail.ru

ТОЭ, ТЭЦ, электротехника - все решения у нас! Недорого, быстро, качественно, гарантия!

логотип сайта ТОЭ

Лекции по ТОЭ/ №15 Основные сведения о комплексных числах.


    Комплексным числом называется выражение вида:

Основные сведения о комплексных числах.

    где – c обозначение комплексного числа; a и b – соответственно действительная и мнимая части комплексного числа; j=√(-1) – мнимая единица.

    Величины a и b часто обозначают следующим образом: a = Re(c) , b = Im(c) . Символы Re и Im – есть начальные буквы английских слов Real – действительный и Imaginary – мнимый.

    Геометрически комплексное число изображается вектором на комплексной плоскости (рис. 2.8). Горизонтальная и вертикальная оси, отмеченные соответственно знаками +1 и +j, называются действительной (или вещественной) и мнимой. Действительная и мнимая составляющие комплексного числа представляют собой проекции вектора на эти оси.

Основные сведения о комплексных числах.

Основные сведения о комплексных числах.

    Два комплексных числа c и c` называются сопряженными, если они имеют одинаковые модули и равные по величине, но разные по знаку аргументы (рис. 2.10):

Основные сведения о комплексных числах.

    Изображающие их векторы симметричны относительно вещественной оси.

    Действия над комплексными числами.

    Сложение и вычитание производится над числами, записанными в алгебраической форме:

Основные сведения о комплексных числах.

    складываются по отдельности вещественные и мнимые части слагаемых:

    a=a1+a2; b=b1+b2

    Операции сложения комплексных чисел соответствует сложение изображающих их векторов.

    Сумма сопряженных комплексных чисел равна удвоенному значению вещественной части:

Основные сведения о комплексных числах.

    Умножение и деление комплексных чисел удобнее всего производить в показательной форме. Модули при этом перемножаются или делятся, а аргументы складываются или вычитаются:

Основные сведения о комплексных числах.

    Что происходит с векторами при перемножении комплексных чисел?

    На рис. 2.11 мы видим, что при умножении длина вектора возросла в с2 раз, а аргумент увеличился на α2.Рассматривая комплексное число как вектор, мы приходим к следующему выводу.

    При умножении вектора на комплексное число ае , вектор растягивается в а раз и поворачивается на угол α .

Основные сведения о комплексных числах.

    Произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля комплексного числа:

Основные сведения о комплексных числах.

    Иногда приходится производить умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме. Перемножение выполняется по правилам умножения многочленов с учетом того, что j2 = -1

Основные сведения о комплексных числах.

    При делении, чтобы получить результат, необходимо избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Этого можно достичь умножением числителя и знаменателя на сопряженный знаменатель:

Основные сведения о комплексных числах.

Представление синусоидальной функции времени вращающимся вектором. Векторные диаграммы.


Желаем удачного изучения материала и успешной сдачи!