ТОЭ - теоретические основы электротехники

ТОЭ, ТЭЦ, электротехника - все решения у нас!

Недорого, быстро, качественно, гарантия!

Заказать решение
Закажи прямо сейчас
+38(073)044-20-50 toe@toehelp.com.ua

№89 Волновые процессы в линии с распределенными параметрами.

Ранее были получены решения для напряжения и тока в установившемся режиме:

Волновые процессы в линии с распределенными параметрами

Учитывая, что постоянные интегрирования и коэффициент распространения являются комплексными числами преобразуем уравнение для U(x):

Волновые процессы в линии с распределенными параметрами

Перейдем от комплексного изображения функции к ее оригиналу, т.е. к ее функции времени:

Волновые процессы в линии с распределенными параметрами

Функция u(x,t) состоит из двух слагаемых, первое из которых представляет собой прямую или падающую волну uп(x,t), а второе - обратную или отраженную волну uо(x,t). Проанализируем, как изменяется каждая из волн в пространстве и во времени.

Падающая волна напряжения равна:

Волновые процессы в линии с распределенными параметрами

В произвольной точке линии x=x`=const напряжение изменяется по синусоидальному закону с постоянной амплитудой:

Волновые процессы в линии с распределенными параметрами

где

Волновые процессы в линии с распределенными параметрами

В произвольно выбранный момент времени t=t`=const напряжение вдоль линии изменяется по синусоидальному закону, но с затуханием амплитуды с увеличением расстояния х:

Волновые процессы в линии с распределенными параметрами

где

Волновые процессы в линии с распределенными параметрами

Коэффициент β показывает, как изменяется фаза падающей волны напряжения на единицу длины линии [рад/м] и называется коэффициентом фазы.

Длиной волны λ называется расстояние ∆х между двумя ближайшими точками линии, которые находятся в одинаковом фазовом состоянии, т.е. через интервал 2π:

Волновые процессы в линии с распределенными параметрами

откуда следует

Волновые процессы в линии с распределенными параметрами

С течением времени синусоидальное распределение напряжения перемещается вдоль линии. Под скоростью распространения волны или фазовой скоростью понимают скорость перемещения вдоль линии определенного фазового состояния, для чего должно удовлетворяться условие: ωt-βx+ψ1=const.

Продифференцируем члены этого уравнения, в результате получим: ωdx, βdx откуда следует:

Волновые процессы в линии с распределенными параметрами

Неравенство vп> 0 означает, что падающая волна перемещается в положительном в направлении, т. е. от начала линии к ее концу.

Амплитуда падающей волны зависит от координаты х:

Волновые процессы в линии с распределенными параметрами

она убывает (затухает) по показательному закону e-αx в направление возрастания х, т.е. в направлении движения волны. Скорость затухания определяется коэффициентом α, который получил название коэффициента затухания волны [Неп/м].

Коэффициент γ=α+jβ показывает в комплексе характер изменения волны при движении ее вдоль линии, поэтому получил название коэффициента распространения волны.

Характер распространения падающей волны напряжения uп(x,t) показан на рис. 89,1.

Волновые процессы в линии с распределенными параметрами

Рис. 89.1

Отраженная волна напряжения равна:

Волновые процессы в линии с распределенными параметрами

Фазовая скорость отраженной волны найдется из уравнения: ωt-βx+ψ2=const.

После дифференцирования получим: ωdt+βdx+0=0, откуда следует:

Волновые процессы в линии с распределенными параметрами

Отраженная волна распространяется с той же фазовой скоростью, что и падающая, но в обратном направлении (знак минус), т.е. от конца линии к ее началу. Она имеет ту же длину волны λ=2π/β. Амплитуда отраженной волны:

Волновые процессы в линии с распределенными параметрами

при а > 0 убывает (затухает);

Характер распространения отраженной волны показан на рис. 89,2.

Действительное значение напряжения в любой точке лини х’ в любой момент времени t’ будет равно сумме значений напряжений падающей и отраженной волн:

Волновые процессы в линии с распределенными параметрами

Очевидно, что функцию тока в линии i(x,t) также можно рассматривать как результат наложение падающей iп(x,t) и отраженной iо(x,t) волн стой лишь разницей, что отраженная волна накладывается с обратным знаком:

Волновые процессы в линии с распределенными параметрами