Различают следующие виды симметрии периодических несинусоидальных функций.
1) Нечетная симметрия: функция симметрична относительно начала координат и удовлетворяет условию f(t)=-f(-t) (рис. 47.1).
Рис. 47.1
Функции, обладающие нечетной симметрией, получили название нечетных. В разложении таких функций содержатся только синусные составляющие отдельных гармоник Bk и отсутствуют постоянная составляющая A0 и косинусные составляющие отдельных гармоник Сk:
При определении коэффициентов ряда Фурье нечетной функции интегрирование в формуле достаточно выполнить за половину периода T/2:
2) Четная симметрия: функция симметрична относительно оси ординат и удовлетворяет условию f(t)=f(-t) (рис. 47.2).
Рис. 47.2
Функции, обладающие четной симметрией, получили название четных. В разложении таких функций содержатся только постоянная составляющая А0 и косинусные составляющие отдельных гармоник Ck и отсутствуют синусные составляющие отдельных гармоник Вк:
При определении коэффициентов ряда Фурье четной функции интегрирование в формулах достаточно выполнить за половину периода:
3) Косая симметрия: функция симметрична относительно оси абсцисс при смещении ее положительной части [f(t)>0] или отрицательной части [f(t) < 0] на отрезок времени +-T/2 и удовлетворяет условию f(t)=-f(t+-T/2) (рис. 47.3):
Рис. 47.3
Функции, обладающие косой симметрией, получили название кососим-метричных. В разложении таких функций содержатся только нечетные гармоники (синусные и косинусные составляющие):
Докажем это утверждение методом от обратного. Предположим, что кососимметричная функция содержит в разложении все члены ряда Фурье:
Добавим к аргументу функции Т/2
Равенство f(t)=-f(t+-T/2) выполняется при условии A0=0, A2=0, A4=0,…, что и требовалось доказать.
Коэффициенты ряда Фурье кососимметричной функции определяются по общим правилам.
Функция f(t) может обладать одновременно двумя видами симметрии, например, нечетной и косой или четной и косой, но не может быть одновременно нечетной и четной. При разложении конкретной функции в ряд Фурье начало отсчета следует выбрать так, чтобы получить желаемый вид симметрии функции.
Пример. Требуется разложить в ряд Фурье периодическую прямоугольную функцию f(t)=Am(0≤t≤T/2) и f(t)=-Am(T/2≤t≤T) (рис. 47.4).
Рис. 47.4
При выбранном начале отсчета (точка 0) функция будет обладать одновременно двумя видами симметрии (нечетной и косой) и ее гармонический состав будет иметь вид:
Коэффициенты ряда Фурье определяются по формуле для нечетной функции:
Тогда ряд Фурье исследуемой функции получит вид: