ТОЭ - теоретические основы электротехники

ТОЭ, ТЭЦ, электротехника - все решения у нас!

Недорого, быстро, качественно, гарантия!

Заказать решение
Закажи прямо сейчас
+38(073)044-20-50 toe@toehelp.com.ua

№18 Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального тока.

Для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений остаются справедливыми сформулированные ранее законы Кирхгофа.

Первый: в любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю:

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей
                синусоидального тока

где n - число ветвей, сходящихся в узле

Второй: в любой момент времени в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах контура:

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей
                синусоидального тока

где m - число ветвей, образующих контур

Токи, напряжения и ЭДС, входящие в уравнения (2.8) и (2.9), есть синусоидальные функции времени, которые мы рассматриваем как проекции некоторых векторов на оси координат. Так как сложению проекций соответствует сложение векторов и соответствующих им комплексных чисел, то справедливыми будут следующие уравнения, которые можно записывать как для действующих, так и для амплитудных значений.

Законы Киргофа в векторной форме

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей
                синусоидального тока

Законы Киргофа в символической форме

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей
                синусоидального тока

Из сказанного вытекают три возможных подхода к расчету цепей синусоидального тока: выполнение операций непосредственно над синусоидальными функциями времени по уравнениям выше; применение метода векторных диаграмм, использование в расчетах комплексных чисел и уравнений, являющихся основой символического метода.

Пример 2.4. В узле электрической цепи сходятся три ветви (рис. 2.14).

Токи первых двух ветвей известны:

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей
                синусоидального тока

Требуется записать выражение тока i3 и определить показания амперметров электромагнитной системы

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей
                синусоидального тока

Рис. 2.14 - Узел электрической цепи

Решение 1.

Непосредственное сложение синусоид:

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей
                синусоидального тока

Сумма двух синусоид одинаковой чыстоты есть тоже синусоида той же частоты. Ее амплитуда и начальная фаза могут быть найдены по известным из математики формулам:

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей
                синусоидального тока

откуда

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей
                синусоидального тока

Итак

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей
                синусоидального тока

2. Применение метода векторных диаграмм.

В соответствии с первым законом Киргофа в векторной форме для цепи на рис. 2.14 имеем:

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей
                синусоидального тока

В прямоугольной системе координат строим векторы I1m и I2m и находим вектор I3m, равный их сумме (рис. 2.15)

Так как треугольник oab прямоугольный, а сторона ab равна длине вектора I2m, то:

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей
                синусоидального тока

Если треугольник получается не прямоугольным, то применяется теорема косинусов.

Начальная фаза третьего тока равна углу наклона: вектора I3m к горизонтальной оси:

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей
                синусоидального тока Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей
                синусоидального тока Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей
                синусоидального тока

Рис. 2.15 - Векторная диаграмма токов

3. Решение символическим методом

Записываем комплексные амплитуды первого и второго токов:

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей
                синусоидального тока

По первому закону Киргофа в символической форме

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей
                синусоидального тока

Модуль последнего комплексного числа равен амплитуде третьего тока, а агрумент - начальной фазе.

Определяем показания амперметров. Приборы электромагнитной системы показывают действующие значения токов и напряжений, потому:

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей
                синусоидального тока

Обращаем внимание на то, что I1+I2≠I3. Это не ошибка. В цепях синусоидального тока для показаний приборов законы Кирхгофа не справедливы. Можно складывать мгновенные значения токов (синусоидальные функции времени), векторы и комплексные числа, но не численные значения токов и напряжений, не показания приборов.

Следует заметить, что первый из рассмотренных в примере методов из-за громоздкости вычислительных операций с синусоидами практически не применяется.

Метод векторных диаграмм удобен при решении относительно несложных задач.

В символической форме, как будет показано ниже, можно рассчитать сколь угодно сложную линейную цепь.